【人民教育出版社】中学校園数学　8年生　下巻：法則の探求：二次根式の乗除法則

二次根式の乗除法則は、算術平方根の意味と実数の演算性質に基づく中心的な計算ルールです。本授業では、具体的数値の計算結果を整理することで、一般的な法則を見つけ出すことを目指します：非負の2つの数の算術平方根の積（または商）は、これらの数の積（または商）の算術平方根に等しい、そしてこの法則は双方向で逆も成り立つ性質を持っています。

この法則を習得することは、基礎的な代数計算を行うためだけではなく、被開方数が非負であること、および分母がゼロにならないという厳密な論理的制約を深く理解することにもあります。これにより、将来の複雑かつ多様な多項式の混合演算への道が開かれます。

1. 乗法法則の探求と正・逆方向の応用

画面右側に示された図解のように、特定の数値での検証を通じて、非常に美しい代数的規則を見出すことができます。以下を参照してください [視覚的素材：表 (第6ページ)] 二次根式の乗法性質の探求のための計算検証表 の比較によって理解を深めてください。

一般的に、二次根式の乗法法則は $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} (a \ge 0, b \ge 0)$ です。

この公式の正方向の応用は、根式の結合計算に主に使われます。どのように機能するか見てみましょう：

乗法の正方向での結合

例題1 計算：(1) $\sqrt{3} \times \sqrt{5}$；(2) $\sqrt{\frac{1}{3}} \times \sqrt{27}$

解：

(1) $\sqrt{3} \times \sqrt{5} = \sqrt{3 \times 5} = \sqrt{15}$

(2) $\sqrt{\frac{1}{3}} \times \sqrt{27} = \sqrt{\frac{1}{3} \times 27} = \sqrt{9} = 3$

乗法の逆方向での分解

同様に、その逆方向の等式 $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} (a \ge 0, b \ge 0)$ は、大きな数や複雑な代数式を分解・構造化するための優れたツールです。

例題2 簡単化：(1) $\sqrt{16 \times 81}$；(2) $\sqrt{4a^2b^3}$

解：

(1) $\sqrt{16 \times 81} = \sqrt{16} \times \sqrt{81} = 4 \times 9 = 36$

(2) $a^2 \ge 0$、$b^3 \ge 0$ より $b \ge 0$ であることがわかります。$\sqrt{4a^2b^3} = \sqrt{4 \cdot a^2 \cdot b^2 \cdot b} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b^2} \cdot \sqrt{b} = 2ab\sqrt{b}$

2. 係数付きの複合根式の乗法

係数や複数の変数を含む複雑な根式の乗法を扱う際には、「有理係数は有理係数同士、無理部分は無理部分同士」を乗法するという分配原則に従う必要があります。これは、実数の乗法の交換法則と結合法則が根式の領域に直接適用されているものです。

係数と被開方数の分離演算

例題3 計算：(1) $\sqrt{14} \times \sqrt{7}$；(2) $3\sqrt{5} \times 2\sqrt{10}$；(3) $\sqrt{3x} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}xy}$

解：

(1) $\sqrt{14} \times \sqrt{7} = \sqrt{14 \times 7} = \sqrt{2 \times 7^2} = 7\sqrt{2}$

(2) $3\sqrt{5} \times 2\sqrt{10} = (3 \times 2) \times (\sqrt{5 \times 10}) = 6\sqrt{50} = 6 \times 5\sqrt{2} = 30\sqrt{2}$

(3) $\sqrt{3x} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}xy} = \sqrt{3x \cdot \frac{1}{3}xy} = \sqrt{x^2y} = x\sqrt{y} \quad (x \ge 0, y \ge 0)$

3. 除法法則と論理的境界

乗法と除法は、数学演算の両面性を持っています。まさに [視覚的素材：表 (第8ページ)] 二次根式の除法性質の探求のための計算検証表 に示すように、規則は一貫しています。

一般的に、二次根式の除法法則は $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} (a \ge 0, b > 0)$ であり、その逆演算の等式は $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} (a \ge 0, b > 0)$ です。ここでは、厳密な論理的境界を強調しなければなりません：分母は絶対にゼロになれないため、$b > 0$ でなければなりません！

除法の柔軟な応用

例題4 計算：(1) $\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}}$；(2) $\sqrt{\frac{3}{2}} \div \sqrt{\frac{1}{18}}$

解：

(1) $\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{24}{3}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

(2) $\sqrt{\frac{3}{2}} \div \sqrt{\frac{1}{18}} = \sqrt{\frac{3}{2} \div \frac{1}{18}} = \sqrt{\frac{3}{2} \times 18} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$

🎯 コア法則のまとめ

乗法での結合、逆方向での分解、あるいは除法による簡略化において、根本的な目的は複雑さを簡素化し、または分母にある根号を除去することです。以下のコア公式をあなたの代数ツールボックスに刻み込んでください：

1. $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} (a \ge 0, b \ge 0)$
2. $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} (a \ge 0, b \ge 0)$
3. $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} (a \ge 0, b > 0)$
4. $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} (a \ge 0, b > 0)$

問題1

$\sqrt{2} \times \sqrt{18}$ の結果は？

$36$

$6$

$\sqrt{20}$

$6\sqrt{2}$

問題2

二次根式 $\sqrt{48}$ を逆方向に分解して簡略化すると、最も正しい結果はどれですか？

$2\sqrt{12}$

$16\sqrt{3}$

$4\sqrt{3}$

$8\sqrt{6}$

問題3

公式 $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ において、変数 $a$ と $b$ の取りうる範囲は？

$a \ge 0, b \ge 0$

$a > 0, b > 0$

$a \ge 0, b > 0$

$a > 0, b \ge 0$

問題4

$2\sqrt{3} \times 4\sqrt{5}$ の結果は？

$8\sqrt{15}$

$6\sqrt{15}$

$8\sqrt{8}$

$15\sqrt{8}$

問題5

$\frac{\sqrt{54}}{\sqrt{2}}$ の結果は？

$9\sqrt{3}$

$3\sqrt{3}$

$27$

$\sqrt{56}$

チャレンジ：公式の探求と深層的な応用

二次根式の乗除法則の随堂テストの核心問題集

幾何学的および実際の物理計算において、二次根式の乗除法則を熟練して応用することで、多くの小数の煩雑な開方演算を避け、結果の絶対的な正確性を保証できます。次に、段階的に難易度を上げていく練習を通じて、公式の正方向・逆方向の使用および論理的境界の理解度を検証します。

探究1

[空欄補充] 次の式を計算し、結果を観察して、どのような法則を見つけられますか？
(1) $\sqrt{4} \times \sqrt{9} = \underline{\quad}, \sqrt{4 \times 9} = \underline{\quad}$；
(2) $\sqrt{16} \times \sqrt{25} = \underline{\quad}, \sqrt{16 \times 25} = \underline{\quad}$；
(3) $\sqrt{25} \times \sqrt{36} = \underline{\quad}, \sqrt{25 \times 36} = \underline{\quad}$

詳細な解説と参考解答：
(1) 分別に開方：$\sqrt{4} \times \sqrt{9} = 2 \times 3 = \mathbf{6}$；内部で先に掛け、その後開方：$\sqrt{4 \times 9} = \sqrt{36} = \mathbf{6}$。
(2) 分別に開方：$\sqrt{16} \times \sqrt{25} = 4 \times 5 = \mathbf{20}$；内部で先に掛け、その後開方：$\sqrt{16 \times 25} = \sqrt{400} = \mathbf{20}$。
(3) 分別に開方：$\sqrt{25} \times \sqrt{36} = 5 \times 6 = \mathbf{30}$；内部で先に掛け、その後開方：$\sqrt{25 \times 36} = \sqrt{900} = \mathbf{30}$。
発見された法則：一般的に、二次根式の乗法法則は $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} (a \ge 0, b \ge 0)$ です。

練習2

[短答] 練習：1. 計算：(1) $\sqrt{2} \times \sqrt{5}$；(2) $\sqrt{3} \times \sqrt{12}$；(3) $2\sqrt{6} \times \sqrt{\frac{1}{2}}$；(4) $\sqrt{288} \times \sqrt{\frac{1}{72}}$

詳細な解説と参考解答：
(1) 原式 = $\sqrt{2 \times 5} = \mathbf{\sqrt{10}}$。
(2) 原式 = $\sqrt{3 \times 12} = \sqrt{36} = \mathbf{6}$。
(3) 原式 = $2 \times \sqrt{6 \times \frac{1}{2}} = 2\sqrt{3}$。よって結果は $\mathbf{2\sqrt{3}}$ です。
(4) 原式 = $\sqrt{288 \times \frac{1}{72}} = \sqrt{4} = \mathbf{2}$。

探究3

[空欄補充] 探究：次の式を計算し、結果を観察して、どのような法則を見つけられますか？
(1) $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = \underline{\quad}, \sqrt{\frac{4}{9}} = \underline{\quad}$；
(2) $\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} = \underline{\quad}, \sqrt{\frac{16}{25}} = \underline{\quad}$；
(3) $\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{49}} = \underline{\quad}, \sqrt{\frac{36}{49}} = \underline{\quad}$

詳細な解説と参考解答：
(1) 分別に開方：$\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = \mathbf{\frac{2}{3}}$；全体を一度に開方：$\sqrt{\frac{4}{9}} = \mathbf{\frac{2}{3}}$。
(2) 分別に開方：$\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} = \mathbf{\frac{4}{5}}$；全体を一度に開方：$\sqrt{\frac{16}{25}} = \mathbf{\frac{4}{5}}$。
(3) 分別に開方：$\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{49}} = \mathbf{\frac{6}{7}}$；全体を一度に開方：$\sqrt{\frac{36}{49}} = \mathbf{\frac{6}{7}}$。
発見された法則：一般的に、二次根式の除法法則は $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} (a \ge 0, b > 0)$ です。

総合4

[短答] 練習問題 16.2 復習と定着 1. 計算：(1) $\sqrt{24} \times \sqrt{27}$；(2) $\sqrt{6} \times (-\sqrt{15})$；(3) $\sqrt{18} \times \sqrt{20} \times \sqrt{75}$；(4) $\sqrt{3^2 \times 4^3 \times 5}$

詳細な解説と参考解答：
(1) 分解法：$\sqrt{24} \times \sqrt{27} = \sqrt{4 \times 6} \times \sqrt{9 \times 3} = 2\sqrt{6} \times 3\sqrt{3} = 6\sqrt{18} = 6 \times 3\sqrt{2} = \mathbf{18\sqrt{2}}$。
(2) 符号付き乗法：原式 = $- (\sqrt{6 \times 15}) = -\sqrt{90} = -\sqrt{9 \times 10} = \mathbf{-3\sqrt{10}}$。
(3) 連続乗法の統合：原式 = $\sqrt{18 \times 20 \times 75} = \sqrt{2 \times 3^2 \times 2^2 \times 5 \times 3 \times 5^2}$、再構成すると $\sqrt{27000} = \sqrt{900 \times 30} = \mathbf{30\sqrt{30}}$ となります。
(4) 指数抽出法：原式 = $\sqrt{3^2 \times (2^2)^3 \times 5} = \sqrt{3^2 \times 2^6 \times 5} = 3 \times 2^3 \times \sqrt{5} = 3 \times 8 \times \sqrt{5} = \mathbf{24\sqrt{5}}$。

応用5

[短答] [図：同心円] 図のように、2つの円の中心は同じで、面積はそれぞれ $12.56$ と $25.12$ です。円環の幅 $d$ を求めます（$\pi$ は $3.14$ とする。結果は小数点以下2桁まで）。

詳細な解説と参考解答：
内円の面積 $S_1 = 12.56$、外円の面積 $S_2 = 25.12$ であることがわかっています。円の面積公式は $S = \pi r^2$ です。除法の逆方向の公式を使うことで、計算プロセスを大幅に簡略化できます。
1. 内円の半径：$r_1 = \sqrt{\frac{S_1}{\pi}} = \sqrt{\frac{12.56}{3.14}} = \sqrt{4} = \mathbf{2}$。
2. 外円の半径：$r_2 = \sqrt{\frac{S_2}{\pi}} = \sqrt{\frac{25.12}{3.14}} = \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$。
3. 幅の計算：円環の幅 $d = r_2 - r_1 = 2\sqrt{2} - 2$。
なぜなら $\sqrt{2} \approx 1.414$ だから、$d \approx 2 \times 1.414 - 2 = 2.828 - 2 = 0.828$ です。
結果を小数点以下2桁までにすると $\mathbf{0.83}$ です。
結論：円環の幅 $d$ は約 $\mathbf{0.83}$ です。